02-Devoir de géométrie N°2

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02-Devoir de géométrie N°2

Message par SansOgm le Ven 18 Nov - 15:46

Bonjour !

Aujourd'hui, nous allons nous divertir l'esprit par une introduction à d'autres géométries que celle d'Euclide.
A ce propos, commençons par un anagramme : Euclide elucide !

Vous l'avez compris, je vous demande : "Elucide Euclide !"

Et oui ! Euclide a défini les axiomes de la géométrie que nous utilisons communément. Bien des mathématiciens ont cherché à réduire le nombre de ces axiomes, parfois réussissant à déduire l'un de ces axiomes de deux autres, parfois supprimant un axiome important, non démontrable par les autres, avec des conséquences inattendues.

Je vous demande donc de lire ce qui suit et vous poserai ensuite une seule question pour aujourd'hui.
------------------------------------
Toute conclusion suppose des prémisses ; ces prémisses elles-mêmes ou bien sont évidentes par elles-mêmes et n’ont pas besoin de démonstration, ou bien ne peuvent être établies qu’en s’appuyant sur d’autres propositions, et comme on ne saurait remonter ainsi à l’infini, toute science déductive, et en particulier la géométrie, doit reposer sur un certain nombre d’axiomes indémontrables. Tous les traités de géométrie débutent donc par l’énoncé de ces axiomes. Mais il y a entre eux une distinction à faire : quelques-uns, comme celui-ci par exemple : « deux quantités égales à une même troisième sont égales entre elles », ne sont pas des propositions de géométrie, mais des propositions d’analyse. Je les regarde comme des jugements analytiques a priori, je ne m’en occuperai pas.
Mais je dois insister sur d’autres axiomes qui sont spéciaux à la géométrie. La plupart des traités en énoncent trois explicitement :
1° Par deux points ne peut passer qu’une droite ;
2° La ligne droite est le plus court chemin d’un point à un autre ;
3° Par un point on ne peut faire passer qu’une parallèle à une droite donnée.
Bien que l’on se dispense généralement de démontrer le second de ces axiomes, il serait possible de le déduire des deux autres et de ceux, beaucoup plus nombreux, que l’on admet implicitement sans les énoncer, ainsi que je l’expliquerai plus loin.
On a longtemps cherché en vain à démontrer également le troisième axiome, connu sous le nom de postulatum d’Euclide. Ce qu’on a dépensé d’efforts dans cet espoir chimérique est vraiment inimaginable. Enfin au commencement du siècle et à peu près en même temps, deux savants, un Russe et un Hongrois, Lobatchevsky et Bolyai établirent d’une façon irréfutable que cette démonstration est impossible ; ils nous ont à peu près débarrassés des inventeurs de géométries sans postulatum ; depuis lors l’Académie des Sciences ne reçoit plus guère qu’une ou deux démonstrations nouvelles par an.
La question n’était pas épuisée ; elle ne tarda pas à faire un grand pas par la publication du célèbre mémoire de Riemann intitulé : Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zum Grunde liegen. Cet opuscule a inspiré la plupart des travaux récents dont je parlerai plus loin et parmi lesquels il convient de citer ceux de Beltrami et de Helmholtz.
LA GÉOMÉTRIE DE LOBATCHEVSKY
S’il était possible de déduire le postulatum d’Euclide des autres axiomes, il arriverait évidemment qu’en niant le postulatum, et en admettant les autres axiomes, on serait conduit à des conséquences contradictoires ; il serait donc impossible d’appuyer sur de telles prémices une géométrie cohérente.
Or c’est précisément ce qu’a fait Lobatchevsky. Il suppose au début que :
L’on peut par un point mener plusieurs parallèles à une droite donnée.
Et il conserve d’ailleurs tous les autres axiomes d’Euclide. De ces hypothèses, il déduit une suite de théorèmes entre lesquels il est impossible de relever aucune contradiction et il construit une géométrie dont l’impeccable logique ne le cède en rien à celle de la géométrie euclidienne.
Les théorèmes sont, bien entendu, très différents de ceux auxquels nous sommes accoutumés et ils ne laissent pas de déconcerter un peu d’abord.
Ainsi la somme des angles d’un triangle est toujours plus petite que deux droits et la différence entre cette somme et deux droits est proportionnelle à la surface du triangle.
Il est impossible de construire une figure semblable à une figure donnée mais de dimensions différentes.
Si l’on divise une circonférence en n parties égales, et qu’on mène des tangentes aux points de division, ces n tangentes formeront un polygone si le rayon de la circonférence est assez petit ; mais si ce rayon est assez grand, elles ne se rencontreront pas.
Il est inutile de multiplier ces exemples ; les propositions de Lobatchevsky n’ont plus aucun rapport avec celles d’Euclide, mais elles ne sont pas moins logiquement reliées les unes aux autres.
LA GÉOMÉTRIE DE RIEMANN
Imaginons un monde uniquement peuplé d’êtres dénués d’épaisseur ; et supposons que ces animaux « infiniment plats » soient tous dans un même plan et n’en puissent sortir. Admettons de plus que ce monde soit assez éloigné des autres pour être soustrait à leur influence. Pendant que nous sommes en train de faire des hypothèses, il ne nous en coûte pas plus de douer ces êtres de raisonnement et de les croire capables de faire de la géométrie. Dans ce cas, ils n’attribueront certainement à l’espace que deux dimensions.
Mais supposons maintenant que ces animaux imaginaires, tout en restant dénués d’épaisseur, aient la forme d’une figure sphérique, et non d’une figure plane et soient tous sur une même sphère sans pouvoir s’en écarter. Quelle géométrie pourront-ils construire ? Il est clair d’abord qu’ils n’attribueront à l’espace que deux dimensions ; ce qui jouera pour eux le rôle de la ligne droite, ce sera le plus court chemin d’un point à un autre sur la sphère, c’est-à-dire un arc de grand cercle, en un mot leur géométrie sera la géométrie sphérique.
Ce qu’ils appelleront l’espace, ce sera cette sphère d’où ils ne peuvent sortir et sur laquelle se passent tous les phénomènes dont ils peuvent avoir connaissance. Leur espace sera donc sans limites puisqu’on peut sur une sphère aller toujours devant soi sans jamais être arrêté, et cependant il sera fini ; on n’en trouvera jamais le bout, mais on pourra en faire le tour.
Eh bien, la géométrie de Riemann, c’est la géométrie sphérique étendue à trois dimensions. Pour la construire, le mathématicien allemand a dû jeter par-dessus bord, non seulement le postulatum d’Euclide, mais encore le premier axiome : Par deux points on ne peut faire passer qu’une droite.
Sur une sphère, par deux points donnés on ne peut faire en général passer qu’un grand cercle (qui, comme nous venons de le voir, jouerait le rôle de la droite pour nos êtres imaginaires), mais il y a une exception : si les deux points donnés sont diamétralement opposés, on pourra faire passer par ces deux points une infinité de grands cercles.
De même dans la géométrie de Riemann (au moins sous une de ses formes), par deux points ne passera en général qu’une seule droite ; mais il y a des cas exceptionnels où par deux points pourront passer une infinité de droites.
Il y a une sorte d’opposition entre la géométrie de Riemann et celle de Lobatchevsky.
Ainsi la somme des angles d’un triangle est :
– Égale à deux droits dans la géométrie d’Euclide.
– Plus petite que deux droits dans celle de Lobatchevsky.
– Plus grande que deux droits dans celle de Riemann.
Le nombre des parallèles qu’on peut mener à une droite donnée par un point donné est égal :
– à un dans la géométrie d’Euclide,
– à zéro dans celle de Riemann,
– à l’infini dans celle de Lobatchevsky.
Ajoutons que l’espace de Riemann est fini, quoique sans limite, au sens donné plus haut à ces deux mots.
LES SURFACES À COURBURE CONSTANTE
Une objection restait possible cependant. Les théorèmes de Lobatchevsky et de Riemann ne présentent aucune contradiction ; mais quelque nombreuses que soient les conséquences que ces deux géomètres ont tirées de leurs hypothèses, ils ont dû s’arrêter avant de les avoir toutes épuisées, car le nombre en serait infini ; qui nous dit alors que s’ils avaient poussé plus loin leurs déductions, ils n’auraient pas fini par arriver à quelque contradiction ?
Cette difficulté n’existe pas pour la géométrie de Riemann, pourvu qu’on se borne à deux dimensions ; la géométrie de Riemann à deux dimensions ne diffère pas en effet, nous l’avons vu, de la géométrie sphérique, qui n’est qu’une branche de la géométrie ordinaire et qui est par conséquent en dehors de toute discussion.
M. Beltrami, en ramenant de même la géométrie de Lobatchevsky à deux dimensions à ne plus être qu’une branche de la géométrie ordinaire, a réfuté également l’objection en ce qui la concerne.
Voici comment il y est parvenu. Considérons sur une surface une figure quelconque. Imaginons que cette figure soit tracée sur une toile flexible et inextensible appliquée sur cette surface, de telle façon que quand la toile se déplace et se déforme, les diverses lignes de cette figure puissent changer de forme, sans changer de longueur. En général, cette figure flexible et inextensible ne pourra se déplacer sans quitter la surface ; mais il y a certaines surfaces particulières pour lesquelles un pareil mouvement serait possible : ce sont les surfaces à courbure constante.
Si nous reprenons la comparaison que nous faisions plus haut et que nous imaginions des êtres sans épaisseur vivant sur une de ces surfaces, ils regarderont comme possible le mouvement d’une figure dont toutes les lignes conservent une longueur constante. Un pareil mouvement paraîtrait absurde, au contraire, à des animaux sans épaisseur vivant sur une surface à courbure variable.
Ces surfaces à courbure constante sont de deux sortes :
Les unes sont à courbure positive, et peuvent être déformées de façon à être appliquées sur une sphère. La géométrie de ces surfaces se réduit donc à la géométrie sphérique, qui est celle de Riemann.
Les autres sont à courbure négative. M. Beltrami a fait voir que la géométrie de ces surfaces n’est autre que celle de Lobatchevsky. Les géométries à deux dimensions de Riemann et de Lobatchevsky se trouvent donc rattachées à la géométrie euclidienne.
INTERPRÉTATION DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES
Ainsi s’évanouit l’objection en ce qui concerne les géométries à deux dimensions.
Il serait aisé d’étendre le raisonnement de M. Beltrami aux géométries à trois dimensions. Les esprits que ne rebute pas l’espace à quatre dimensions n’y verront aucune difficulté, mais ils sont peu nombreux. Je préfère donc procéder autrement.
Considérons un certain plan que j’appellerai fondamental et construisons une sorte de dictionnaire, en faisant correspondre chacun à chacun une double suite de termes écrits dans deux colonnes, de la même façon que se correspondent dans les dictionnaires ordinaires les mots de deux langues dont la signification est la même :
Espace : Portion de l’espace située au-dessus du plan fondamental.
Plan : Sphère coupant orthogonalement le plan fondamental.
Droite : Cercle coupant orthogonalement le plan fondamental.
Sphère : Sphère.
Cercle : Cercle.
Angle : Angle.
Distance de deux points : Logarithme du rapport anharmonique de ces deux points et des intersections du plan fondamental avec un cercle passant par ces deux points et le coupant orthogonalement
etc.…
Prenons ensuite les théorèmes de Lobatchevsky et traduisons-les à l’aide de ce dictionnaire comme nous traduirions un texte allemand à l’aide d’un dictionnaire allemand-français. Nous obtiendrons ainsi des théorèmes de la géométrie ordinaire.
Par exemple, ce théorème de Lobatchevsky « la somme des angles d’un triangle est plus petite que deux droits » se traduit ainsi : « Si un triangle curviligne a pour côtés des arcs de cercle qui prolongés iraient couper orthogonalement le plan fondamental, la somme des angles de ce triangle curviligne sera plus petite que deux droits ». Ainsi, quelque loin que l’on pousse les conséquences des hypothèses de Lobatchevsky, on ne sera jamais conduit à une contradiction. En effet, si deux théorèmes de Lobatchevsky étaient contradictoires, il en serait de même des traductions de ces deux théorèmes, faites à l’aide de notre dictionnaire, mais ces traductions sont des théorèmes de géométrie ordinaire et personne ne doute que la géométrie ordinaire ne soit exempte de contradiction. D’où nous vient cette certitude et est-elle justifiée ? C’est la une question que je ne saurais traiter ici, car elle exigerait quelques développements. Il ne reste donc plus rien de l’objection que j’ai formulée plus haut.
Ce n’est pas tout. La géométrie de Lobatchevsky, susceptible d’une interprétation concrète, cesse d’être un vain exercice de logique et peut recevoir des applications ; je n’ai pas le temps de parler ici de ces applications ni du parti que M. Klein et moi en avons tiré pour l’intégration des équations linéaires.
Cette interprétation n’est d’ailleurs pas unique, et l’on pourrait établir plusieurs dictionnaires analogues à celui qui précède et qui tous permettraient par une simple « traduction » de transformer les théorèmes de Lobatchevsky en théorèmes de géométrie ordinaire.
------------------------------------
Source : La science et l'hypothèse (Henri Poincaré)

Ma question est :

Quelle est la somme maximale des angles intérieurs d'un triangle sur une sphère ?

(réfléchissez-bien et ne vous fiez pas aux réponses fournies dans un autre forum généraliste bien connu)


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Re: 02-Devoir de géométrie N°2

Message par Tchernobilly the kid le Ven 18 Nov - 17:02

Nous voilà bien conditionnés par tout cet exposé, je sens que ça va fumer !


Bon, en géométrie riemannienne, pour moi ça va encore, surtout rapportée à la géométrie sphérique "classique".


La somme des angles d'un triangle augmente avec sa surface ... Elle tend vers π lorsque la surface tend vers zéro.
À "l'autre bout", le triangle a une surface maximale (donc somme des angles maximale) lorsqu'il recouvre toute la sphère (j'ose espérer qu'on exclut un recouvrement !)


Allons-y !
Je prends, pour construire mentalement l'image, les termes de géodésie (méridien, parallèle ...)
On prend un triangle sphérique quelconque en toile très élastique.

On amène un sommet A au pôle (nord, ou sud pour les australiens) et les deux autres B et C à la même latitude (quelconque). Les angles en B et C sont alors droits (π/2)

On rapproche les points B et C sur leur parallèle de façon à ce que le triangle recouvre toute la partie nord en les amenant à la même longitude. On voit alors que l'angle au sommet A tend vers 2π, valeur atteinte lorsque les côtés AB et AC se confondent.

La somme des angles est alors, quelle que soit la latitude de B et C, ]-π/2,π/2[ :


∑ = 2π + 2.π/2 = 3π (540°)


.

(réfléchissez-bien et ne vous fiez pas aux réponses fournies dans un autre forum généraliste bien connu)
Aurait-on dit des bêtises dans
un autre forum généraliste bien connu ? Je n'ose y croire !
SOURCE ? (pour voir)
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Re: 02-Devoir de géométrie N°2

Message par SansOgm le Ven 18 Nov - 17:26

C'est un très bon début, cher Tcherno !

Prenez donc une sphère en bois, un élastique et 3 punaises.
Disposez vos punaises : La première au pôle nord et les deux autres diamétralement opposées à l'équateur.

Que ne pourriez-vous faire de l'élastique pour obtenir davantage d'angle ?
(et même mieux, pour stabiliser l'ensemble)




Pas de publicité comparative : La vérité !  Rien que la vérité !  Ici !
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Re: 02-Devoir de géométrie N°2

Message par Tchernobilly the kid le Ven 18 Nov - 20:08

Eh bien on obtient un triangle dont la somme des angles est 2π. Il faut faire parcourir aux deux points le reste du cercle équatorial jusqu'à ce qu'ils se rejoignent, l'angle au pôle étant alors de 2π.
Où est le problème, sinon que l'élastique va déraper ?



Pas besoin de placer les deux derniers points sur l'équateur. Le résultat est le même si ces deux points sont sur un même parallèle. Il faut alors les placer sur un parallèle dans l'hémisphère sud pour que l'élastique ne se barre pas ! Laughing


.


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Re: 02-Devoir de géométrie N°2

Message par saint-marc le Ven 18 Nov - 21:02

Il me semble que la réponse de Tcherno est tout à fait bonne : 3pi est la somme maximale des angles.

Mais, je crois comprendre ce que SansOgm veut dire : Il propose que les 3 points A, B et C soient sur un grand cercle de la sphère, passant (dans son exemple avec punaises) au pôle nord.
C'est peut-être plus simple comme ça, avec 3 angles plats qui totalisent aussi 3pi.

C'est ça, SansOgm ?
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Re: 02-Devoir de géométrie N°2

Message par SansOgm le Ven 18 Nov - 21:09

Bonsoir !

Je m'inquiète de voir que mes cours sont désertés. Aussi vais-je attendre d'autres réponses avant de me prononcer.
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Re: 02-Devoir de géométrie N°2

Message par Pierre le Ven 18 Nov - 22:00

Bah... ça peut être aussi grand qu'on veut, ça dépend simplement combien de tours font chacun des côtés...
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Re: 02-Devoir de géométrie N°2

Message par Alexandre le Ven 18 Nov - 23:23

Je n'ai pas lu le texte avant la question.

J'imagine qu'il s'agit de la somme des angles du triangle. Je vais raisonner en précisant que je prends trois points, et que je ne fais pas plusieurs tours. Je prends également le plus petit triangle.

Je trouve presque la même réponse qu'une autre plus haut. Je peux partir d'un triangle à trois angles de 90° avec un au pôle et deux sur l'équateur, ce qui fait 270°.  Si j'écarte les points le long de l'équateur j'arrive presque à 360°, sauf que si j'y arrive les points deviennent alignés sur une longitude, et que le total passe à 180°.

Je n'arrive pas à imaginer mieux : presque 360° ou 2Pi.
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Re: 02-Devoir de géométrie N°2

Message par Tchernobilly the kid le Sam 19 Nov - 0:36

Alexandre a écrit:Je n'ai pas lu le texte avant la question.

J'imagine qu'il s'agit de la somme des angles du triangle. Je vais raisonner en précisant que je prends trois points, et que je ne fais pas plusieurs tours. Je prends également le plus petit triangle.

Je trouve presque la même réponse qu'une autre plus haut. Je peux partir d'un triangle à trois angles de 90° avec un au pôle et deux sur l'équateur, ce qui fait 270°.  Si j'écarte les points le long de l'équateur j'arrive presque à 360°, sauf que si j'y arrive les points deviennent alignés sur une longitude, et que le total passe à 180°.

Je n'arrive pas à imaginer mieux : presque 360° ou 2Pi.

Regarde d'au dessus du pôle, tu verras que l'angle au pôle s'ouvre jusqu'à 360°.
Total 360 + 2 fois 90° = 540° (3π)

Je pense qu'à partir de la position où les deux points sur l'équateur sont diamétralement opposés, tu bascules sur l'angle supplémentaire (de l'autre côté) qui décroit de 180° à 0°
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Re: 02-Devoir de géométrie N°2

Message par Tchernobilly the kid le Sam 19 Nov - 0:41

saint-marc a écrit:Il me semble que la réponse de Tcherno est tout à fait bonne : 3pi est la somme maximale des angles.

Mais, je crois comprendre ce que SansOgm veut dire : Il propose que les 3 points A, B et C soient sur un grand cercle de la sphère, passant (dans son exemple avec punaises) au pôle nord.
C'est peut-être plus simple comme ça, avec 3 angles plats qui totalisent aussi 3pi.

C'est ça, SansOgm ?

Ah, que non ... dans ce cas de figure (les 3 points sur un grand cercle méridien), les angles en B et C (sur l'équateur) font toujours π/2 et celui au pôle est plat (=π).
Total 2
π

.
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Re: 02-Devoir de géométrie N°2

Message par SansOgm le Sam 19 Nov - 2:04

A ce stade, nous avons obtenu une somme des angles égale à 3pi, soit encore 540°, de deux manières :
- Celle décrite par Tcherno, qui est une limite en réalité : 2pi + 2x pi/2
- Celle décrite par St Marc, qui n'est pas une limite : 3 x pi , et dont voici la représentation du triangle ABC

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Mais, nous n'avons pas encore atteint la somme maximale possible des 3 angles !
Je vous laisse donc chercher plus avant.
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Re: 02-Devoir de géométrie N°2

Message par Alexandre le Sam 19 Nov - 7:22

La distance la plus courte entre C et B n'est pas celle indiquée, mais cela produit effectivement une somme des angles supérieure à 360°, mais qui n'atteint quand même pas 540°
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Re: 02-Devoir de géométrie N°2

Message par Alexandre le Sam 19 Nov - 7:39

J'ai trouvé le lien de la discussion en question. Il y avait la bonne réponse, mais elle n'a pas eu la meilleure réponse.
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Re: 02-Devoir de géométrie N°2

Message par Tchernobilly the kid le Sam 19 Nov - 10:56

SansOgm a écrit:
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Mais, nous n'avons pas encore atteint la somme maximale possible des 3 angles !
Je vous laisse donc chercher plus avant.

On veut jouer à Monsieur Plus ?

je me suis rafraichi un peu la mémoire en matière de géométrie sphérique
L'aire de la surface d'un secteur sphérique est S = ε.R², ε étant l'angle solide de ce secteur.
La surface totale de la sphère est alors 4πR².

De brillants mathématiciens ont établi que la surface d'un TRIANGLE sphérique est
(a+b+c -π).R² (a b c sont les mesures des angles)

Ce qui donne a+b+c -π = 4π  -> a+b+c = 5π
lorsque le triangle recouvre toute la sphère.

Ce qui est en contradiction avec ma manipulation de toile élastique (mon premier message) qui donne 3
π pour un triangle qui recouvre - à la limite - toute la surface de la sphère (pôles exclus) !

Si quelqu'un peut m'expliquer ce gag ?
Je soupçonne une discontinuité : la totalité de la surface n'est PAS un triangle ...

.
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Re: 02-Devoir de géométrie N°2

Message par saint-marc le Sam 19 Nov - 11:30

Bonjour,

j'ai fouillé sur internet et crois comprendre comment on parvient à 5pi.
Pour ce faire, il faut se représenter le triangle et sa surface intérieure, un peu à la manière d'un tissus élastique que l'on pourrait distendre autant qu'on veut, à la surface de la sphère.
Dans un premier temps, le triangle est tout petit et situé au pôle nord de la sphère : Somme des angles = pi
Dans un second temps, le triangle est celui mentionné par SansOgm, les 3 points A, B et C sont à l'équateur et la moitié de la sphère est recouverte par le tissus élastique : Somme des angles = 3pi
Dans un troisième temps, on poursuit la descente du triangle jusqu'au pôle sud, avec donc la sphère complètement recouverte par le tissus élastique et le triangle à nouveau tout petit.
Les angles à chaque sommet, s'il s'agit d'un triangle équilatéral, tendent vers 2pi-pi/3 et la somme des angles, quel que soit le triangle, tend vers 6pi - pi = 5pi.

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Est-ce la somme maximale des angles qu'on peut obtenir, SansOgm ?
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Re: 02-Devoir de géométrie N°2

Message par Pierre le Sam 19 Nov - 13:09

Si on impose la condition supplémentaire de n'avoir aucun recouvrement, le problème est en apparence très simple :  en considérant un triangle dont les côtés tendent vers 0, la somme des angles intérieurs reste constante et égale à  un demi-tour. 

La somme des angles extérieurs vaut 3 tours (un par sommet) moins le demi-tour, soit 2,5 tours. Si on s'intéresse à la sphère entière, on doit simplement intervertir la notion "intérieur" et "extérieur", on obtient donc comme somme des angles 2,5 tours. 

Faudrait généraliser en partant d'un "zéroangle", puis en ajoutant un sommet à chaque fois. Mais bon, j'ai la flemme. Et ça caille, malgré le soleil.
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Re: 02-Devoir de géométrie N°2

Message par Tchernobilly the kid le Sam 19 Nov - 14:19

saint-marc a écrit:Bonjour,

j'ai fouillé sur internet et crois comprendre comment on parvient à 5pi.
Pour ce faire, il faut se représenter le triangle et sa surface intérieure, un peu à la manière d'un tissus élastique que l'on pourrait distendre autant qu'on veut, à la surface de la sphère.
Dans un premier temps, le triangle est tout petit et situé au pôle nord de la sphère : Somme des angles = pi
Dans un second temps, le triangle est celui mentionné par SansOgm, les 3 points A, B et C sont à l'équateur et la moitié de la sphère est recouverte par le tissus élastique : Somme des angles = 3pi
Dans un troisième temps, on poursuit la descente du triangle jusqu'au pôle sud, avec donc la sphère complètement recouverte par le tissus élastique et le triangle à nouveau tout petit.
Les angles à chaque sommet, s'il s'agit d'un triangle équilatéral, tendent vers 2pi-pi/3 et la somme des angles, quel que soit le triangle, tend vers 6pi - pi = 5pi.

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Est-ce la somme maximale des angles qu'on peut obtenir, SansOgm ?

C'est bien là le truc ...
En enfilant cette chaussette élastique sur la sphère, en arrivant autour du "pôle sud", le triangle complémentaire (en blanc) tend vers un triangle plan dont la somme des angles a'+b'+c' tend vers π.
Les angles extérieurs en ses trois sommets sont les angles du triangle rouge qui nous intéresse.
Leur somme vaut (en limite) :
a+b+c = (2
π-a') + (2π-b') + (2π-c') = 6π - (a'+b'+c') = 6π - π = 5π

CQFD, si je ne m'abuse !

.

Dans ma première solution (3
π), la différence est que mon tissu élastique se fermait comme un blouson, il restait une fermeture éclair suivant un méridien.

.


NB : "dans un second temps" la pause à l'équateur est anecdotique, elle n'a pas d'intérêt pour la question.

NB2 : Le triangle n'a pas besoin d'être équilatéral, il suffit que les trois sommets tendent vers le "pôle sud", mais c'es juste plus facile à exposer dans ce cas particulier.

.


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Re: 02-Devoir de géométrie N°2

Message par Alexandre le Sam 19 Nov - 15:34

Je comprends l'explication que la somme des angles des triangles extérieurs et extérieur est 6 Pi. Si on se limite au triangle intérieur cela veut dire qu'au maximum la somme est 3Pi.

J'ai également l'impression que cette somme maximum est une limite, car elle n'est atteinte dans aucun des exemples, sauf erreur de ma part.

Rappelons que le schéma avec un point au pôle nord et les autres points sur la même latitude Sud est faux ! Pour B et C le plus court chemin ne passe pas par le pôle sud, mais par le grand cercle passant par B et C.

On peut presque atteindre cette somme si B et C sont tour proche du pôle sud.
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Re: 02-Devoir de géométrie N°2

Message par Tchernobilly the kid le Sam 19 Nov - 16:50

C'est bien une limite, lorsque, en tirant sur la chaussette, les trois points viennent se confondre au "pôle sud".

Je ne comprends pas pourquoi tu ne comprends pas qu'on arrive ainsi à 5π.
Prends une boule de pétanque comme celle-ci qui te présente un triangle qui en diminuant de taille va devenir (à la limite ...) équilatéral :

[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]

L'autre triangle, celui qui nous intéresse, occupe le reste de la surface de la sphère.
Combien mesurent les angles du "grand" triangle" ?
2π-π/3 qui multiplié par trois donne ... 5π.


PS :
Pour moi l'affaire est entendue, "la messe est dite" Cool

.


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Re: 02-Devoir de géométrie N°2

Message par Alexandre le Sam 19 Nov - 19:21

Je comprends que suivant la loi du préservatif ou de la chaussette cela fasse 5 Pi, mais selon la loi de l'élastique cela ne fait que 3 Pi, et donc la réponse dans l'autre forum était finalement correcte.

En revanche il semble impossible d'obtenir ces valeurs exactement, ce ne sont que des limites.
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Re: 02-Devoir de géométrie N°2

Message par SansOgm le Dim 20 Nov - 9:40

Bien !
Je vois que vous commencez à assimiler la pensée des épis.
... sauf StMarc qui devrait apprendre à penser par lui-même ...
C'est vrai, quoi, pourquoi vous réfugier derrière internet ?

Je note plusieurs choses intéressantes :

1- L'inertie au changement
J'ai bien vu, cher Alexandre, que vous n'aviez pas osé lire Poincaré, ce qui est dommage car il faut s'aventurer dans des contrées nouvelles pour découvrir. Par exemple, vous avez oublié que la sphère est une surface et non un volume dans ce cours. Mais, vous vous êtes rattrapé en précisant que le plus court chemin entre 2 points sur une sphère appartient au grand cercle passant par ces 2 points.

2- La simplicité
J'ai bien lu, cher Tcherno, que vous insistiez sur le fait que le deuxième temps n'était pas nécessaire, mais justement, il l'est car nous sommes ici à la frontière entre l'élastique et le tissus élastique, d'ailleurs très bien dit par Alexandre, et cette frontière montre l'hésitation qu'on peut avoir à différencier deux triangles avec trois points sur une sphère : Le triangle intérieur et le triangle extérieur
[Vous devez être inscrit et connecté pour voir cette image]

... avec les rondeurs, ça change ...

Bien évidemment, en géométrie plane (celle d'Euclide), seul un triangle intérieur existe.

Ainsi, en géométrie sphérique, la frontière "équatoriale" n'est pas une limite mais bien le centre de symétrie des valeurs possibles de la somme S des angles d'un triangle sur une sphère :

180° < S < 900°
3- La pédagogie
Vous avez, cher Tcherno, rappelé ce que j'avais d'ailleurs dit, que la somme des angles d'un triangle quelconque tend au maximum vers 5pi. Vous voyez combien il est difficile de rester à la fois clair, concis et précis.

4- Je regrette que vous n'ayez pas pris le temps de lire et méditer les propos de Poincaré. Cet homme est une mine, un génie sans lequel les Einstein et autres copieurs n'auraient pas eu le succès qu'ils ont eu.

5- Je note avec intérêt que Tcherno a de bonnes boules... (en acier strié !) notamment celle de mon prochain devoir de géométrie. Vous noterez que la boule esseulée qu'il nous montre a un énorme cuboctaèdre inscrit sur elle (ça, c'est une promotion !!)

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.... euh ... Tcherno, on les trouve où, tes belles boules ?
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Re: 02-Devoir de géométrie N°2

Message par Tchernobilly the kid le Dim 20 Nov - 21:11

la boule appartient à  Superman !

Superman a une bouille incroyable, comme je l'ai indiqué dans un ancien sujet ici même.  Wink

.
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