09-Devoir de géométrie N°6

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09-Devoir de géométrie N°6

Message par SansOgm le Dim 11 Déc - 12:39

Bonjour !

Aujourd'hui,  je vais commencer par une première question puis nous avancerons pas à pas.

Première question : Quel est cet objet ?
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Dernière édition par SansOgm le Dim 18 Déc - 23:55, édité 1 fois
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Re: 09-Devoir de géométrie N°6

Message par Tchernobilly the kid le Dim 11 Déc - 14:16

Ça sent l'hyperboloïde à 1 km.

.
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Re: 09-Devoir de géométrie N°6

Message par saint-marc le Dim 11 Déc - 15:03

Tchernobilly the kid a écrit:Ça sent l'hyperboloïde à 1 km.

.
Ah bon !

Moi qui n'y connais pas grand chose, j'ai regardé à quoi ressemblait une hyperboloïde
et je suis tombé la-dessus
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J'avoue que ça ne ressemble pas trop aux dessins de SansOgm.

Mais, comme il s'agit de trouver un objet, je me suis dis que Tcherno avait peut-être pensé à un darbouka... j'ai donc installé une petite peau sur l'hyperbo-machin
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Mais, je le sens pas vraiment, ce coup-là...
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Re: 09-Devoir de géométrie N°6

Message par SansOgm le Dim 11 Déc - 15:16

Allons, allons ... saint-marc et tcherno, ne vous éparpillez pas !

Mes dessins n'ont rien à voir avec une hyperboloïde à une nappe, comme celle que saint-marc nous montre, pas plus qu'à une hyperboloïde à deux nappes comme ci-dessous
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Re: 09-Devoir de géométrie N°6

Message par Tchernobilly the kid le Dim 11 Déc - 19:03

1- je n'ai pas dit qu'il (l'hyperboloïde) était à une nappe !

2- C'est tout de même un morceau d'hyperboloïde (à une nappe) obtenu à partir d'un carré (plan, en tissu élastique) obtenu en le "tordant" en faisant faire à un côté une rotation de 90° par rapport à l'autre autour de leur médiatrice commune.

Non mais ...

.
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Re: 09-Devoir de géométrie N°6

Message par SansOgm le Dim 11 Déc - 19:52

Tout à fait, Tcherno !
Et il s’agit d’UN hyperboloïde (saint-marc me fait vraiment écrire n’importe quoi).

J’en profite pour vous dire que le paraboloïde hyperbolique, outre ses qualités esthétiques, a un grand intérêt au plan architectural. Techniquement c'est une courbe "à courbure gaussienne négative" (en tout point elle est convexe dans une direction et concave dans l'autre). Cela lui confère une grande rigidité pour une grande portée et un poids relativement faible. Elle a donc été très utilisée dans l'architecture du 20 eme siècle (églises de Royan et de Villeparisis conçues par l'ingénieur Bernard Lafaille, le pavillon Philips lors de l'exposition de Bruxelles en 1958 conçu par Xannis Xenakis etc...).



Gaudí a utilisé le paraboloïde hyperbolique dans les voûtes de l'église de la colonie Güell.

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Voutes de la Colonie Güell

A la Sagrada Familia, les paraboloïdes sont les éléments des voûtes se raccordant aux hyperboloïdes des trous de lumière. Ils réalisent la forme en feuilles de palmier.

On voit que par sa forme le paraboloïde hyperbolique est souvent appelé "selle de cheval". C'est aussi une surface réglée engendrée par le déplacement d'une droite s'appuyant sur deux droites fixes n'appartenant pas au même plan (non coplanaires).

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Une autre particularité introduite de façon importante par Gaudí est l'utilisation de formes utilisant des surfaces plus "complexes" en particulier les hyperboloïdes de révolution (celles à une nappe, précisemment) et les paraboloïdes hyperboliques (mathématiquement c'est la surface formée par une parabole glissant sur une autre parabole tournant sa concavité dans le sens opposé)

Toutes des deux sont d'un point de vue mathématique des surfaces "réglées" c'est à dire que l'on peut les construire avec des lignes droites se déplaçant de façon idoine dans l'espace. Cette propriété mathématique qui a l'air abstraite est en fait très importante car elle permet de les fabriquer relativement facilement en utilisant des génératrices droites. Dans la Sagrada Familia on se sert pour cela  de la technique traditionnelle dite de la "voûte catalane" (double ou triple épaisseur de briques).



Mathématiquement l'hyperboloïde de révolution (celle à une nappe) est la surface formée par  une hyperbole tournant  autour de son axe non transverse. Elle est aussi générée par une droite tournant dans l'espace autour d'un axe non sécant et non parallèle.

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Les hyperboloïdes sont utilisés par l'architecte  pour la conception des passages lumineux situés entre les modules au sommet de la voûte.

Ci-dessous, vous avez une hyperboloïde sur la voûte
(vu de l'intérieur et l'extérieur)


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Au sujet des surfaces réglées, Gaudí disait : « Les paraboloïdes, hyperboloïdes et hélicoïdes, variant constamment l'incidence de la lumière, ont une richesse de nuances qui leur est propre, qui rend l'ornementation, et même le modelage superflus ».

Techniquement, le choix d'hyperboloïdes pour amener la lumière dans la nef est judicieux  car cette forme permet de capter un flux lumineux important et de le diffuser à l'intérieur suivant les deux directions droites génératrices de la surface.

Des hyperboloïdes sont aussi utilisés au sommet des colonnes à l'endroit où elles rejoignent les voûtes. C'est effectivement la meilleure solution pour capter au mieux les poussées.

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Pour la curiosité, sachez aussi que Gaudí a développé pour ces colonnes un modèle particulièrement original. Les colonnes sont de formes polygonales à leur base mais ces polygones sont différents suivant les colonnes : ils ont 12 arêtes pour les plus hautes (24 m) à 6 arêtes pour les plus petites (12 m). De plus en partant de cette base polygonale, le nombre d'arêtes  double par paliers et la forme tend vers celle du cercle au sommet. Ainsi  les colonnes les plus hautes ont-elles une section polygonale à 96 arêtes à leur sommet (géométriquement cela revient à superposer deux colonnes à section polygonale tournant en sens inverse). Les colonnes se divisent ensuite en "branches" et celles-ci sont aussi à section de forme variable suivant le même principe passant du cercle au polygone puis à nouveau au cercle suivant les embranchements.


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La voûte vue d'en bas et les feuilles de palmier. On voit les différents niveaux d'arborescence (3 au total) et les feuilles de palmier
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Impressionnant, cet architecte !


Je vous laisse contempler tout ça et on continue plus tard...
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Re: 09-Devoir de géométrie N°6

Message par Tchernobilly the kid le Dim 11 Déc - 20:11

Ça fait aussi de très beaux châteaux d'eau, ici dans la Drôme :

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Ci-dessus à Valence

Ci-dessous à la Roche de Glun. L'architecte a insisté sur quelques droites génératrices

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C'est aussi comme ça qu'on réalise des tours de refroidissement de centrales thermiques (nucléaires, essentiellement).


Centrale de Cruas :
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La "fumée" comme disent les gens, c'est l'eau du Rhône.

.
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Re: 09-Devoir de géométrie N°6

Message par saint-marc le Dim 11 Déc - 20:21

C'est magnifique tout ça !

Mais, j'en reviens à la question de SansOgm.
Si j'ai bien compris, c'est une selle de cheval mais un hyperboloïde

Je crois que j'ai trouvé à quoi ça ressemble vu de deux autres points de vue
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Là, je n'ai représenté que la surface enveloppe qui est courbe de ces points de vue, mais j'ai évité de dessiner les fils qui relient tout droit les arêtes opposées d'un tétraèdre, en fait.
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Re: 09-Devoir de géométrie N°6

Message par SansOgm le Dim 11 Déc - 20:36

Oui, c'est bien, saint-marc !

Mais, ce que je voulais surtout que vous trouviez, c'est que ça peut faire une harpe pour deux joueurs en vis à vis, avec des cordes métalliques tendues de longueurs différentes et rigoureusement symétriques, de sorte que chaque joueur peut tranquillement jouer les bras à l'aise, sur la moitié des cordes proches de lui !

scratch scratch

Astucieux, non ?
Faut juste ajouter les deux petites caisses de résonance.

bounce
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Re: 09-Devoir de géométrie N°6

Message par Tchernobilly the kid le Lun 12 Déc - 0:01

Des harpes jumelles ...

ou plutôt siamoises !

.
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Re: 09-Devoir de géométrie N°6

Message par saint-marc le Lun 12 Déc - 6:49

C'est amusant, cette idée de bi-harpe !

Je vais  essayer d'en fabriquer une...
Donc voilà comment ça se présente schématiquement pour un joueur avec ses cordes à lui uniquement représentée ci-dessous

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Et bien !
Y-a du boulot, avant d'aboutir à un plan d'instrument définitif.

On peut même aussi les faire dissymétriques, pour avoir de l'autre côté des contrebasses ... et en travaillant les caisses de résonances, on va peut-être concurrencer la gaffophone !
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