11-Lagrange, un mathématicien incontournable

Bonjour !

Lors de notre récréation solennelle, je vous ai annoncé que le chemin était bien long pour aborder les géométries contemporaines.
Ces dernières (quoi qu'en dise Grothendieck) ne peuvent être dissociées de la Nature, mais a-t-il vraiment dit qu'il n'en était rien ?
Non ! Il a simplement dit qu'il s'était laissé porter par ses propres convictions...
Aussi, n'est-il pas époustouflant de constater que toutes les grandes découvertes faites par vos mathématiciens se trouvent déjà inscrites dans la Nature !

Je vous invite donc à découvrir l'histoire d'un homme du XVIIIème siècle à qui les physiciens et les mathématiciens doivent tant : Il s'agit de Giuseppe Ludovico De la Grange Tournier, encore appelé en France Joseph-Louis Lagrange.

Vous avez peut-être remarqué, dans cette vidéo, l’équation fondamentale de la mécanique classique, appliquée à un point matériel :

 
Cette équation, de prime abord incompréhensible, résume toute la puissance de la méthode analytique de Lagrange en mécanique classique.

Elle contient 4 termes :

• L             la fameuse fonction de Lagrange dont il a eu l'idée géniale !
  
• q           la position du point matériel
  
• q’          sa vitesse
  
• t           le temps
  

 
Comme nous le verrons un peu plus loin, cette équation résulte du principe physique de moindre action et des informations nécessaires (et suffisantes) pour décrire un système mécanique.

C'est ainsi que un point matériel évoluant dans l’espace peut être décrit complètement à chaque instant par 3 paramètres :

• Sa position dans l’espace à un instant t donné
  
• Sa vitesse à ce même instant t
  
• Une fonction L(q,q’,t) - à définir - telle que Somme intégrale de L.dt (de t1 à t2) est toujours minimale. En d’autres termes, la trajectoire d’un point matériel, entre deux points distincts de passage (aux instants t1 et t2) est celle unique obtenue - par calcul - en minimisant l’action.
  

Quelques éclaircissements s’imposent sur ce qu'est l’action !
Voici la formule de l’action S :
 
Il est important que vous compreniez ceci pour mesurer la puissance de la méthode analytique de Lagrange car cette dernière permet, comme nous allons le voir un peu plus tard, de retrouver les équations de Newton !


Ne vous inquiétez pas !
Nous n'écrirons pas sans cesse des formules, mais là, prenez le temps, à cette étape importante, de bien comprendre ces premières notions pour pouvoir mieux apprécier ce qui sera ensuite exposé.

Je reviens vers vous après un court intermède musical...

Si je ne m'abuse, on peut non seulement retrouver les équations de Newton, mais aussi celles de la Relativité Générale (D.Hilbert, 1915), et encore plus fort, Feynmann en trouvera application dans l'électrodynamique quantique, ça doit même être le sujet de sa thèse...

Oui, Pierre, Lagrange a vraiment posé les bases d'une méthode d'analyse applicable dès qu'il s'agit de position dans l'espace, de vitesse (plus largement, dès qu'il s'agit de degrés de liberté et de leur variations au premier ordre, quels qu'ils soient) et de champs potentiels (ensemble des interactions avec l' "extérieur" du système considéré, résumés en champs).

Je n'aborde pas du tout ici les théories de la relativité générale et de l'électrodynamique quantique car :

- la première théorie (RG) utilise un formalisme moins abordable (les tenseurs), a un temps (propre) variable lié aux composantes q', c mais aussi au champ gravitationnel local, donc aux masses, champ qui lui-même se confond avec un espace courbe. Au principe utilisé de moindre action s'ajoute le principe d'équivalence : La gravité locale est rigoureusement équivalente à un référentiel accéléré.

(*) Juste un petit aparté pour souligner une des spécificités de la relativité générale :

• En théorie de la relativité restreinte, on entend par référentiel un ensemble de corps occupant des positions fixes et immuables les uns par rapport aux autres.
  
• En présence d'un champ gravitationnel variable (dans l'espace), ces systèmes de corps ne peuvent exister, et pour déterminer exactement la position spatiale d'une particule on devrait disposer, en toute rigueur, d'un système constitué d'un nombre infini de corps remplissant tout l'espace et se comportant comme un "milieu". Un tel système de corps, associé à son horloge marchant de façon arbitraire, constitue justement le référentiel de la relativité générale.
  

- La seconde théorie (QED) est encore plus complexe. Elle aussi est relativiste, mais appliquée à des particules (électrons et/ou photons), considérées comme des oscillateurs et décrites par des opérateurs qui ne commutent pas, sachant qu'il est possible de retrouver l'électromagnétisme de Maxwell en appliquant la statistique de Bose (qui rend alors commutatif l'opérateur résultant d'un grand nombre de photons ... euh.... c'est compliqué !)... et je n'ai pas non plus parlé du principe fondamental d'indétermination d'Heisenberg qui vient pimenter le tout ... pas plus que je n'ai évoqué les divergences, obtenues avec cette théorie, qui contraignirent Feynman à imaginer des procédures (tordues) de renormalisation pour retrouver une cohérence globale de la théorie. L'hamiltonien se justifie davantage, dans cette théorie que le Lagrangien car l'impulsion (des photons) peut exister sans masse.


Quoi qu'il en soit, mon intention est surtout de parcourir les concepts essentiels de la géométrie au cours de l'histoire... et Lagrange me permet aujourd'hui d'introduire l'idée que la géométrie ne se résume pas à des structures statiques. Bien entendu, nous parlerons plus tard de courbure d'espace (de Gauss, de Riemann et de Ricci), notion qui intervient notamment en relativité générale.


Et puis, nous les épis avons peut-être des choses à ajouter à vos belles théories !

Bonjour !

Je vous disais hier que Lagrange eut l’idée de créer une fonction qui, couplée au temps sur une trajectoire, doit être minimisée, en raison du principe de moindre action. Ce dernier, à son époque, avait été énoncé par Maupertuis. Plus tard, on parlera du même principe en l’attribuant à Hamilton.

Pour être tout à fait exact, il convient de dire qu’il s’agit de trouver un extremum.

Pour le comprendre, imaginez deux expériences :
1- La première est celle d’un pendule dont la masse se déplace en arc de cercle en passant par un minimum, c’est-à-dire au point de gravité minimale
2- La seconde expérience consiste à propulser cette masse sur une bosse de chameau en partant du bas pour arriver à l’opposé de la bosse sans dévier latéralement. En pareil cas, la masse se trouve en permanence sur un point de gravité maximale

Mathématiquement, cela signifie que la variation élémentaire dS est nulle, en tout point de la trajectoire, dans le voisinage de cette dernière.

Faisons appel à nos connaissances de première S en mathématique !
dS = Somme de [ (dL/dq).dq + (dL/dq’)dq’ ] dt
En voyant immédiatement que (dL/dq’)dq’ = (dL/dq’)d(dq)/dt, nous intégrons pas partie le second terme de l’intégrale et obtenons : dL/dq’. dq - d/dt (dL/dq’).dq
Remarquant que dq = 0 pour t1 et t2 puisque les points de départ et d’arrivée sont des passages obligés => variation impossible de la position en ces points, l’intégration du premier terme est nulle. Le reste de l’intégrale est donc :
dS = somme de [ dL/dq - d/dt (dL/dq’) ].dq.dt = 0,ce qui entraine immédiatement :

 
Pffff. Je vois que vous vous endormez !

Alors, bande de fainéants, vous êtes condamnés à me croire !
... et c’est le début des ennuis, je le sens, je le sens …

Au terme de raisonnements simples et logiques, on aboutit, en s’appuyant sur l’isotropie de l'espace et l’introduction d’un champ potentiel U(q) représentant les interactions du point avec tous autres points matériels extérieurs à notre description, on aboutit donc à
…. Roulement de tambour …


En appliquant l’équation différentielle de Lagrange, démontrée ci-dessus, on obtient :


La seule chose qui n'est pas de Lagrange, et qui revient en fait au mérite de Kepler, consiste à trouver que le potentiel gravitationnel est en 1/r et dépend des deux masses interagissant, avec au final :


Nous concluons cette présentation en voyant que, finalement, la fonction de Lagrange représente en mécanique l'énergie cinétique du point matériel moins l'énergie potentielle du champ.