01-Devoir de géométrie N°1

1 - Trouver sans calcul le volume d'une pyramide à base carrée, de hauteur égale au coté de la base et ayant une arête verticale.

2 - Trouver sans calcul le volume d'un tétraèdre régulier en fonction de la distance qui sépare deux arêtes opposées.

3 - Comparer le volume de la pyramide à base carrée de coté de longueur C et le volume du tétraèdre régulier dont les arêtes ont une longueur égale à T

4 - Combien de tétraèdres distincts peut-on inscrire dans le cube de la même manière que celui figurant sur le 2ème dessin ?

5 - Où se situe le centre de gravité du tétraèdre dans le cube ?

6 - Comment obtenir un cube avec deux tétraèdres réguliers identiques ?


- Ajout --------------------------

Dans les questions qui précèdent :

a/ C est la longueur du côté du cube représenté ci-dessous
b/ T est la longueur de l'arête du tétraèdre représenté ci-dessous, donc celle de la diagonale d'une face du cube.
c/ Pour répondre à la question 2, ôtez du volume du cube les 4 volumes identiques qui n'appartiennent pas au tétraèdre (rouge), lesquels volumes sont ceux d'une pyramide à base 2 fois plus petite que celles à base carrée (faut tout vous dire, les gars !)
d/ La question 4 est mal formulée : De combien de manières différentes peut-on placer le tétraèdre rouge dans le cube (dessin 2)
e/ Il est autorisé d'intersecter les 2 tétraèdres identiques positionnés différemment afin d'obtenir les 8 sommets du cube.


Question 7 - Quel est le polyèdre régulier dont le volume est l'intersection des volumes des 2 tétraèdres de la question 6 ?

Ce n'est que le 1er problème de géométrie d'un champ de maïs !

Et oui ! Ce que vous ne savez pas, c'est que nous, les maïs, sommes très avancés en géométrie et sommes très surpris de voir que les humains s'ennuient à faire quantités de calculs algébriques alors que nous, avec nos grains, nous voyons tout !
Comme vous paraissez bien peu familiers de nos méthodes pourtant si simples, je vais vous initier à nos connaissances et vous verrez que nous irons très loin, jusqu'aux structures quantiques à boucles par la seule géométrie !
Des problèmes, il y en aura toute une suite, sans grosses difficultés particulières, et vous serez surpris de pouvoir retrouver par vous-même ce que Platon découvrit et bien mieux encore !

Enfin ! Vous pourrez ouvrir les yeux sur ce que vos mathématiciens et physiciens compliqués se sont évertués à rendre abstrait...

Alors, êtes vous prêt à faire ce voyage au champ de maïs ?

- Fin de l'ajout --------------------------


Pour répondre à ces questions, vous observerez les dessins en 3 dimensions ci-dessous.

Pour l'instant le score est SansOgm : 6   Alexandre 0

1 - Mon logiciel de DAO intégré me suggère 3

2 - d³ ? (là c'est plutôt au pifomètre, serait-ce trop simple ? Je crains l'intrusion d'une √3). Je devrai me replier sur du calcul ...

3 - C'est quoi, "T" ?

4 - 3 ?

5 - au centre du cube ?

6 - faut faire du découpage ?

C'est hard, ton truc !

.

1. On peut superposer trois pyramides dans un cube, la réponse est que cela fait 1/3 du cube

2. Je ne dois pas avoir compris.
Le volume dépend de la hauteur et de la largeur de la base.
Je trouve un solution en me rapportant à la définition du tétraèdre régulier (donc avec calcul) et en supposant une relation entre la hauteur et la base, pas exemple que la hauteur est égale à la largeur de la base.

Un pénalty doit être tiré pour la question 2

Alexandre a écrit:2. Je ne dois pas avoir compris.
Le volume dépend de la hauteur et de la largeur de la base.
Je trouve un solution en me rapportant à la définition du tétraèdre régulier (donc avec calcul) et en supposant une relation entre la hauteur et la base, pas exemple que la hauteur est égale à la largeur de la base.

Un pénalty doit être tiré pour la question 2

Oui, apparement il y a un problème.  Un tétraèdre régulier (dit de Platon) est un solide dont les 4 sommets sont sur une sphère. C'est aussi une pyramide. Dans une sphère donnée, on ne peut inscrire qu'une infinité de tétraèdres tous égaux. Si on se donne une distance entre deux arêtes (qui sont orthogonales) ça détermine complètement le tétraèdre, de la même manière que si on se donne une hauteur d'un triangle équilatéral il est complètement défini. 

Donc, le problème est possible. Je sais que le volume est égal au cube du côté, divisé par 6.sqr(2) mais je ne sais pas répondre à la question posée  

3. C'est la même chose, si j'ai bien compris les définitions.

4. 24

Monsieur SansOgm, si vous mettez vos modifications dans votre question, alors personne ne sera informé des informations complémentaires que vous venez d'apporter.
Donc, la prochaine fois, n'hésitez pas à insérer une réponse vous-même.
Merci !

saint-marc a écrit:Monsieur SansOgm, si vous mettez vos modifications dans votre question, alors personne ne sera informé des informations complémentaires que vous venez d'apporter.
Donc, la prochaine fois, n'hésitez pas à insérer une réponse vous-même.
Merci !

Que veux-tu ... l'habitude sur Yaroot Q/R d'aller compléter sa question par des "mises à jour", alors qu'ici on a une structure habituelle de discussion.

Revenons à nos moutons, à la lumière de ces ajouts
1 - 3 (inchangé)
2 - c³/3
3 - même volume
4 - 8 (ou 24 si on fait subir à chacun des rotations de 120°)
5 - au centre du cube (inchangé)
6 - Je vois, mais j'ai la flemme de faire un dessin ... On voit l'un des deux sur la dernière figure, en haut à droite, avec sa base commune avec celle du tétraèdre rouge, on obtient l'autre par symétrie par rapport au centre du cube.

7 - plus tard, on me demande à table ...

5. C'est le centre de gravité du triangle qui est axe de symétrie de la pyramide, l'intersection de ses médianes.

7 - Ça donne un joli polyèdre étoilé, dit "octangle étoilé"



On l'obtient à partir des 2 tétraèdres du 6 en les interpénétrant à mi-hauteur.

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Je crois que la question, c'était l'intersection, pas l'union, pour la question 7.
Mais... j'y comprend rien à tout ça.

saint-marc a écrit:Je crois que la question, c'était l'intersection, pas l'union, pour la question 7.
Mais... j'y comprend rien à tout ça.

Ben euh ... j'm'es gourré, j'ai fait l'union !

Mais bon, il suffit de raboter les 8 pointes qui dépassent et un obtient un banal octaèdre régulier très platonicien ...

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Finalement, c'est amusant, ce problème de géométrie. Ça me fait découvrir l'octangle étoilé !

Je vais essayer de répondre en m'appuyant sur les réponses déjà données :


1 - Trouver sans calcul le volume d'une pyramide à base carrée, de hauteur égale au côté de la base et ayant une arête verticale.
>> Réponse : 1/3 du volume du cube, donc c³/3

2 - Trouver sans calcul le volume d'un tétraèdre régulier en fonction de la distance qui sépare deux arêtes opposées.
>> Réponse : Le volume du cube moins 4 fois la moitié de c³/3, soit c³/3.

3 - Comparer le volume de la pyramide à base carrée de coté de longueur C et le volume du tétraèdre régulier dont les arêtes ont une longueur égale à T
>> Réponse : Nous avons T =C√2, mais ceci est anecdotique. Les volumes des deux objets sont identiques (c³/3).

4 - Combien de tétraèdres distincts peut-on inscrire dans le cube de la même manière que celui figurant sur le 2ème dessin ?
>> Réponse : Le  tétraèdre a 6 arêtes qui occupent chacune la diagonale de chacune des 6 faces du cube. La seule autre possibilité est donc d’occuper les diagonales orthogonales aux premières, ce qui fait donc au total 2 dispositions, et seulement 2, dans lesquelles on peut inscrire le tétraèdre dans le cube.

5 - Où se situe le centre de gravité du tétraèdre dans le cube ?
>> Réponse : Au centre de gravité du cube.

6 - Comment obtenir un cube avec deux tétraèdres réguliers identiques ?
>> Réponse : On obtient, comme l’a dit Tcherno, un octangle étoilé dont les sommets sont ceux du cube.

7 - Quel est le polyèdre régulier dont le volume est l'intersection des volumes des 2 tétraèdres de la question 6 ?
>> Réponse : Ce polyèdre est l’octaèdre (comme l'a dit Tcherno). Il est aussi le dual du cube puisque ces 6 sommets se trouvent aux centres de chaque face du cube.

Bonnes réponses, Monsieur St Marc !
Moi qui pensais que vous n'étiez pas intéressé par le sujet, je vois que vous avez changé d'avis !

Juste un petit détail : Dans la réponse à la question 2, vous n'avez pas précisé que la distance entre deux arêtes opposées du tétraèdre est précisément C puisque les deux arêtes sont orthogonales et se trouvent dans des faces opposées du cube, donc dans des plans parallèles.

Dans ce cas, je vais pouvoir préparer le 2ème petit problème de géométrie, toujours dans le même genre que ceux que nous pratiquons dans les champs de maïs, et je vous le soumettrai, à tous, bientôt.

saint-marc a écrit:
4 - Combien de tétraèdres distincts peut-on inscrire dans le cube de la même manière que celui figurant sur le 2ème dessin ?
>> Réponse : Le  tétraèdre a 6 arêtes qui occupent chacune la diagonale de chacune des 6 faces du cube. La seule autre possibilité est donc d’occuper les diagonales orthogonales aux premières, ce qui fait donc au total 2 dispositions, et seulement 2, dans lesquelles on peut inscrire le tétraèdre dans le cube.

???

SansOGM  a précisé :
d/ La question 4 est mal formulée : De combien de manières différentes peut-on placer LE tétraèdre rouge dans le cube (dessin 2)

Pas tout à fait d'accord !
Si on considère qu'on déplace LE tétraèdre rouge par rotations et symétries diverses en repérant spécifiquement ses sommets, il y a bien 8 positions possibles, un sommet particulier "A" du tétraèdre pouvant occuper chacun des 8 sommets du cube ...
Et même 24, chacune des 8 positions précédentes pouvant être soumise à une rotation de 120°. Il est cependant possible qu'il y ait alors des doublons ...

Bien sûr ces solutions se superposent et se réduisent à 2 cas seulement si on confond les diverses orientations.

.

Waouh !
Tcherno surpasse la science des maïs !
Je me disais bien que... mais, les maïs ne semblent pas s'encombrer de ces détails analytiques, bien humains au demeurant...

Allez, SansOgm !
Nous sommes d'accord pour poursuivre vos exercices !

Il fait l'encourager, quand même... C'est pas si fréquent, un maïs cultivé.

saint-marc a écrit:Waouh !
Tcherno surpasse la science des maïs !
Je me disais bien que... mais, les maïs ne semblent pas s'encombrer de ces détails analytiques, bien humains au demeurant...

Allez, SansOgm !
Nous sommes d'accord pour poursuivre vos exercices !

Il fait l'encourager, quand même... C'est pas si fréquent, un maïs cultivé.

C'est sûr qu'un épi de maïs ne va pas aller chercher la petite bête qui risque de le grignoter !
 

.

Monsieur Tcherno !

Tout de même !

Vous anticipez trop : cela n'est pas nécessaire, à ce stade, de s'intéresser aux symétries et rotations dont vous parlez. Nous savons cela mais le réservons pour plus tard, quand ce sera nécessaire, pas comme ça parce qu'on a envie de faire des généralités pour des généralités.

Nous, les épis de maïs, n'abordons les détails supplémentaires que quand ils sont nécessaires...
Afin que vous me compreniez, sachez que nous aborderons plus tard les tétraèdres aux 4 sommets colorés en YMCA.

YMCA, ce sont les 4 couleurs !
Chez vous les humains, vous ne parlez que de 3 couleurs dans votre infâme QCD. Il y en a 4 !!
La quatrième, c'est le "A" chez nous qui correspond chez vous au NOIR !
Et oui, vous oubliez sans cesse le noir et ça ne va pas : Le noir, c'est du vide à fluctuation locale nulle et il faut en tenir compte.
Mais, nous verrons ça bien plus tard...

Eh oui, tout va par quatre : les chemins, les quatre éléments + la quintessence, les trois mousquetaires ...

Il y a là une vérité sous-jacente !

.

Incroyable !

J'ai fait des recherches sur YMCA : Effectivement, il y a du noir !



On n'imagine pas, mais les épis de maïs émettent des messages subliminaux partout, même dans les petits déjeuners !
Et puis, y-a pas qu'eux !

Les enfants, vous êtes bien agités...
Je me trouve dans l'obligation de faire appel au Cardinal !