12-Devoir de géométrie N°7

Bonjour !
 
Depuis le début de nos devoirs de géométrie, et au fil de nos diverses récréations, vous avez sans doute remarqué que plus nous avancions, plus de nouveaux sujets s’ouvraient et plus le nombre de questions sans réponses augmentaient.

C’est que ... la science avance ainsi !

Il ne faut cependant pas s'inquiéter car cette prolifération de nouveaux sujets permet de développer de nouveaux regards et de nouvelles techniques d'analyse qui, dans certains cas, permettent de résoudre des problèmes anciens qu’on ne pouvait pas résoudre avant d’avoir développé ces nouvelles techniques.

C’est pourquoi, avant d’attaquer le problème du ballon à deux pièces, je voudrais vous présenter un sujet qu'il est indispensable de voir avant. Il s'agit du tableau périodique des épis de maïs, l’équivalent de votre tableau périodique (celui de tous les éléments chimiques).

Nous les épis de maïs avons un tableau périodique qui se lit recto-verso !
Il est beaucoup plus élégant et plus logique que le vôtre.
 
1- Les éléments à spin électronique ultime +1/2 - à commencer par l’hydrogène (H) - sont au recto du tableau.

Ce dernier se lit de gauche à droite en parcourant les diverses cravates dont chaque case représente un électron dans sa couche n (la nième cravate) et dans sa sous-couche l (le l ième gros losange de la cravate concernée).

 
2- Les éléments à spin électronique ultime -1/2 - à commencer par l’hélium (He) - sont au verso du tableau.

Pourquoi le verso du tableau ?
Parce que l’électron complémentaire à celui du recto est dans la même case quantique avec un spin opposé  : Logique ! 

Les éléments à spin électronique ultime -1/2 sont ainsi placés sur l’envers des cravates.  On lit ces éléments  au verso du tableau, donc de droite à gauche en parcourant chaque cravate verticalement, comme au recto.

 
Je vous laisse découvrir notre beau tableau périodique recto-verso et vous poserez quelques questions plus tard !

Tu donnes dans la broderie maintenant ?

Joli canevas

Bon, je te promets de voir ça de plus près !

.

De la broderie ? ... Pffff, de la dentelle, même.

J'ai un petit exercice pour vous !

Commencez par regarder les tableaux ci-dessous, dans lesquels se trouvent l'ensemble des éléments du tableau périodique, avec la description des couches et sous couches électroniques :






Voici 9 représentations d'atomes distincts, faites par des épis de maïs :



      1         2        3        4         5        6        7         8        9
 

Pour votre information :
1- Une case rouge est une case quantique qui contient un seul électron à spin +1/2;
2- Une case bleue est une case quantique pleine (2 électrons à spins opposés);
3- Une case grise est une case quantique vide.

Question  1 : A quels atomes correspondent les cravates 1 à 7 ?

Bonjour SansOgm,

Elles sont belles, vos cravates !

Si j'ai bien compris, vos couleurs rouges et bleues permettent de s'abstenir d'aller regarder de l'autre côté du tableau pour voir s'il s'y trouve un second électron : Ouf ! C'est quand même plus facile à lire comme ça : ça évite les torticolis !

Je vais essayer, comme je peux, de répondre à la question 1 :

• Cravate n°1 : L'hydrogène !
  
• Cravate n°2 : Le lithium.
  
• Cravate n°3 : ????
  

Là c'est moins évident, mais comme je vois que chaque cravate a une seul case rouge, j'en déduis qu'il s'agit de tous les atomes de la colonne 1 du tableau périodique, et que donc il s'agit du sodium (Na).

... ... ...

Aaaah ! ça y est, j'ai compris !

En fait, il faut considérer que les cravates montrent seulement les couches distinctes et leurs sous-couches "apparentes", pas celles plus profondes. Ainsi, pour le sodium qui possède 11 électrons, on a :

• La première couche "a", entièrement remplie de 2 électrons, qui est le noeud bleu foncé de la cravate;
  
• La seconde couche "b", entièrement remplie de 8 électrons, occupent le losange suivant, mais est recouverte par...
  
• La troisième couche "c", uniquement occupée par 1 électron.
  

Le seul truc ennuyeux, c'est que on ne pourra pas distinguer avec cette représentation les atomes de Néon et d'Argon puisque dans les 2 cas, la dernière couche est identique et toute bleue.Mais, je suppose que vous avez prévu quelque chose pour les différencier facilement, non ?

Donc, je continue mes réponses :

• Cravate n°4 : Le potassium
  
• Cravate n°5 : Le rubidium
  
• Cravate n°6 : Le césium
  
• Cravate n°7 : Le francium
  

Je comprend pourquoi vous n'avez pas demandé de trouver les atomes des cravates n°8 et 9 : On ne les connait pas !

C'est pas mal, visuel et compact, cette présentation !
Reste à savoir si cela nous aidera à nous améliorer en géométrie.
... En tout cas, pour celle des nuages électroniques. je demande à voir ...

Bonjour Saint-Marc,

j'ai volontairement dessiné des cravates irréalistes et constate que vous êtes tombé dans le panneau en ne voyant pas ce qui clochait...

Haaaa, soyez un peu plus attentif !

Je développerai plus avant ce sujet lors de notre prochain devoir de géométrie mais, avant cela, il faut que vous sachiez quelle est selon les épis de maïs la structure d'un électron isolé.
Voici notre modèle du champ magnétique complet d'un électron seul :


Comme vous pouvez le voir, il ressemble un peu au modèle qu'a présenté St Marc il y a 2 mois mais en plus élaboré. A droite, vous avez une représentation schématique des flux magnétiques qui permet de comprendre le résultat de l'expérience de Stern et Gerlach, dans un champ magnétique variable. Cette structure de champ magnétique résulte d'une onde parcourant approximativement la surface d'un sphère en empruntant le chemin de la "couture" d'une balle de tennis, en gros. Je vous expliquerai plus tard pourquoi il en est ainsi. Pour l'instant, rendez-vous bien compte que cette structure de champ entraine une orientation Up ou Down aléatoire, donc à 50/50, dans un champ magnétique variable. Réfléchissez bien et vous en conviendrez !

Revenons à nos atomes et à leurs couches électroniques : St Marc, puisque vous semblez motivé, je vais vous aider !

Voici la structure générale des couches électroniques, dans la présentation des épis de maïs :


Vous avez ici 8 couches (la 8ème n'a pas été découverte mais des physiciens chinois essaient de former de tels atomes); chaque couche contient un carré de cases quantiques organisé en sous couches en chevron.
Exemple : La couche 4 possède 1 case s, 3 cases p, 5 cases d et 7 cases f.
Vous voyez, c'est simple !

Il faut avoir à l'esprit que le contenu de chaque carré en électrons d'un atome donné, représente grosso modo la répartition de ces derniers sur 1/8 de la surface d'une sphère de la dite couche (un quart de la moitié d'une peau d'orange, si vous voulez). C'est très utile car cela nous permettra ensuite de disposer correctement nos nuages électroniques.

St Marc, je vous laisse donc à nouveau répondre aux 2 questions initialement posées.

Monsieur SansOgm,

je crois que j'ai compris; aussi ai-je fait plus de cravates que vous n'en demandiez, pour plein d'atomes différents !

Les voici :

C'est très bien, St Marc !

Je remarque que vous avez disposé les électrons des atomes de carbone et silicium de manière un peu différente que ce qui est habituellement écrit, et qui est faux : s2p2.

C'est en effet faux car les 4 électrons se répartissent tous les 4 aux sommets d'un tétraèdre, de sorte que vous avez trois électrons Up et un électron Down, représenté en jaune : Très bien !

Mais, nous verrons que cette distinction entre électrons Up et électron Down ne signifie pas qu'il existent 2 sortes d'électrons : Cela signifie qu'un électron peut être à l'endroit ou à l'envers, tout simplement, et cela dépend du champ magnétique ou il se trouve, ni plus ni moins !


Et bien, nous commençons, avec l'atome de carbone, à voir que les structures polyédriques ont leur importance pour comprendre la géométrie des orbitales. Un autre exemple est celui de la molécule d'eau :
Nous le épis calculons l'angle HOH de manière très simple, alors que vos chimistes et physiciens se compliquent terriblement la vie !

Regardons ce qui se passe au niveau des électrons :




L'atome d'oxygène "récupère" la moitié des 2 électrons des 2 atomes d'hydrogène, ce qui a pour effet d'avoir, en couche 2 de l'oxygène, un nombre d'électrons égal à 7 (s2p4 + 0.5x2 = 7) : Deux d'entre eux restent en sous couche S et les 5 autres s'organisent selon une symétrie axiale.

Il faut savoir que la symétrie axiale d'axe égal à celui du spin du 1er électron perdure pour toutes les couches et sous-couches des atomes.
Par ailleurs, les  électrons d'une sous-couche sont tous équidistants à l'atome.

Une fois qu'on sait cela, le reste est simple :
On a une pyramide à base carrée => l'angle HOH est égal à arc cosinus de -1/4 (car 1 électron au sommet, 4 électrons à la base) = 104°48.
Reste à faire une petite correction due à la structure tétraédrique des protons du noyau d'oxygène et on parvient à un léger resserrement de l'angle à 104°45.

Voilà, c'est tout simple et nos bouliers à grains suffisent pour faire ces calculs !

Bonjour !

j'ai pensé qu'il vous serait utile de disposer de quelques informations supplémentaires avant d'aborder, lors du prochain devoir, la géométrie du ballon à 2 pièces.

Ces informations concernent les nuages électroniques et l'explication simple de leurs fréquences d'ionisation.

Voici pour commencer, vu de dessus, la répartition des lobes électroniques de la sous-couche f à 14 électrons :

Le spin directeur (celui du 1^er électron de l’atome) est dans l’axe OZ
La sous-couche f, qui à 14 électrons, compte :

• 2 électrons à un lobe (plus bourrelet torique au centre, non représenté) ;
  
• 4 électrons à 4 lobes chacun ;
  
• 8 électrons à 3 lobes chacun.
  

soit un total de 42 lobes dont 4 en « sous-face » (orange) dans le plan équatorial  XY.

Vous remarquez que l’on passe de 1 à 4 puis 8 puis 12 lobes (puis de l’autre côté de la sphère à 8 puis 4 puis 1) et nous pouvons retenir de tout cela :

• Une logique d’agencement simple ;
  
• Une symétrie globale cylindrique ;
  
• Une décomposition à symétrie centrale des électrons en plusieurs lobes.
  

Lorsqu’un électron libre est capturé par un atome et qu’il entre dans la couche n, il va séjourner dans chaque case quantique pendant une période identique T₀ de sorte qu’il en aura fait le tour complet en une période égale à T₀.n². La durée de séjour dans chaque case quantique est toujours la même, elle vaut :

T₀ = 3,042104548 10^-16 seconde. 

Cela est extrêmement surprenant mais ça marche bien comme ça !

Si par exemple, un électron se trouve dans la couche 2 qui a 2² = 4 cases quantiques, et bien cet électron va faire le tour complet des 4 cases quantiques en 4 T₀. Lorsqu’il passe par exemple de la couche 3 à la couche 2, la période passe de 9 T₀ à 4 T₀, ce qui a pour effet de perturber l’environnement immédiat, avec propagation d’un train d’onde de période égale à la différence des périodes, soit  5 T₀ dans le cas que nous décrivons ici.Ainsi, retenons que : T = T₀n² qui équivaut à  une fréquence d'ionisation égale à :


Chez vous les humains, vous comparez toujours les différences de fréquence en les convertissant en inverse d’une longueur d’onde avec :


… et vous appelez  notre « 1/c T₀ » constante de Rydberg que vous notez Rh. D’ailleurs, ces résultats ont été retrouvés expérimentalement pour les couches 1 à 6 respectivement par vos physiciens Lyman, Balmer, Paschen, Bracket, Pfund et Humphreys.

Donc, pour vous faire plaisir, les fréquences et énergies d'ionisation sont  :



Maintenant que nous avons établi cette formule, il ne faut pas être grand clerc pour comprendre que les fréquences d'ionisation décroissent au fur et à mesure qu’on s’éloigne du noyau, avec dans chaque couche n cette inverse proportionnalité de la fréquence à n², nombre de cases quantiques.

Je n'ai pas trop compris vos histoires de périodes, mais ai dessiné les quatre sous-couches électroniques s, p, d et f pleines :


       s                  p                     d                           f

Effectivement, cela présente une belle symétrie globale cylindrique avec :

• Pour la sous-couche s à 1 seule case quantique : 1 lobe sphérique;
  
• Pour la sous-couche p à 3 cases quantiques : 6 lobes sur les axes x y et z, avec symétrie centrale (1 - 4 - 1);
  
• Pour la sous-couche d à 5 cases quantiques : 18 lobes (1 - 4 - 8 - 4 -1) dont 1 double lobe sur Oz et 4 quadruples lobes à symétrie centrale.
  
• Pour la sous-couche f à 7 cases quantiques : ce que vous avez déjà dit.
  

Tout ça, c'est bien beau, mais quand allons-nous étudier la géométrie du ballon à deux pièces ?

Je crois que nous en avons assez vu, à présent, pour pouvoir attaquer le sujet du ballon. Mais, aujourd'hui, j'ai un petit cadeau pour vous


Allez préparer votre sapin de Noël et amusez-vous bien !