03-Devoir de géométrie N°3

Bonsoir !

Finalement, contrairement à ce que je vous ai annoncé lors du devoir N°2, nous allons d'abord étudier autre chose aujourd'hui.

Vous vous souvenez de notre premier devoir de géométrie ou nous avions parlé du cube, de 2 tétraèdres inscrits et de l’octaèdre qui apparaissait à l’intersection des 2 tétraèdres. Aujourd’hui, je vais vous raconter comment les épis de maïs ont découvert le dodécaèdre régulier.

C’était un beau jour de printemps ou nous devisions entre épis devant une belle sphère de la taille d’une bille. Ce jour-là, plusieurs abeilles vinrent et entreprirent de construire des alvéoles sur la sphère. C’était la première fois qu’elles se lançaient dans une telle aventure, aussi les entendîmes-nous fredonner longtemps avant de se mettre à l’ouvrage. Elles finirent par décider d’attaquer leur chantier en s’imposant de toujours construire trois parois unies en un point à 120°. Pas folle, les guêpes, elles avaient calculé la taille de chaque paroi afin que toute la bille fût correctement couverte.

Quelle ne fut pas leur surprise, et la nôtre !
Les alvéoles n’étaient pas hexagonales mais pentagonales !

Incroyable !
Sur un plan, la somme des angles
-          d’un hexagone :  4π
-          d’un pentagone : 3π
-          d’un quadrilatère : 2π
-          d’un triangle : π

Sur la sphère, en prenant des angles égaux à 120°, on peut construire 12 alvéoles pentagonales !
Dans ce cas, la somme des angles de ces pentagones est égale à 600°, soit encore 10/3 π.
Elle est donc elle aussi supérieure à celle obtenue sur un plan (3π).
 
Je vous demande de travailler un peu plus aujourd’hui. Vous allez :
1- dessiner un dodécaèdre régulier et le déposer dans votre réponse ;
2- dessiner son dual, l’icosaèdre, dont les sommets se trouvent au centre des 12 faces du dodécaèdre régulier, et le déposer dans votre réponse.
3- Vous devrez établir une égalité (qui fonctionne pour les 2 solides) qui relie le nombre S de sommets, A d’arêtes et F de faces.
4- Vous devez indiquer le nombre de dodécaèdres différents à symétrie centrale qui existent.

Allez ! Au travail...

Mes abeilles m'ont construit des alvéoles à 2 côtés. Elles m'ont expliqué que c'était parfaitement cohérent avec les 120° de départ et le souhait de se rapprocher de l'hexagone.

Cher Alexandre, vos abeilles ont du miel aux pattes !
Vous n'êtes pas tombé sur des ouvrières; vos abeilles sont du genre à clore le sujet, je vois.

Trouvez de bonnes ouvrières, elles ne molliront pas la cire ainsi !

Je vous demande de travailler

Non, je délègue !

Mes abeilles ne sont pas des feignasses, elles ont fait un compromis entre leur habituel rayon de miel plan au tapis hexagonal comme une couche de graphite et le dodécaèdre tapissé de 12 cellules pentagonales.

Elles ont réalisé un nano-ballon de foot avec 32 cellules, 12 pentagonales et 20 hexagonales, synthétisant ainsi un beau fullerène C₆₀. Ce sont des artistes !



Note que les tiennes n'ont pas totalement démérité puisqu'elles ont fait un fullerène C₂₀.

.

J'ai pas envie de travailler... Et puis, c'est pas marrant les dodécaèdres.

SansOgm, vous voulez pas qu'on regarde une vidéo sur la géométrie et la mode ?

Oui, vous êtes d'accord : Chouette !
Alors, regardons

http://savoirs.ens.fr/expose.php?id=1731

La vidéo sur la géométrie et la mode était très intéressante !
Elles vous a permis de voir que la géométrie est beaucoup plus riche qu'on ne l'imagine : Magnifiques sont ces robes développables du styliste de mode japonais Issey Miyaké !



Mais, revenons à nos polyèdres, dont ceux de ce devoir : Le dodécaèdre régulier à 12 faces pentagonales et son dual, l'icosaèdre à 20 faces triangulaires, que vous avez vu dans la même vidéo



Allez-vous répondre aux questions 3 et 4 ?

3 ...

Le dodécaèdre a :
12 faces (c'est pas un scoop)
20 sommets (comme le fullerène C₂₀) mais ce ne sont pas nécessairement des atomes de carbone.
Nombre d'arêtes : un pentagone a 5 côtés (c'est pas un scoop), il y a 12 pentagones et chaque arête est commune à deux pentagones -> 5x12/2 = 30 arêtes.
Donc F=12, S=20, A=30

L'icosaèdre dual du dodécaèdre -> on remplace les sommets par des faces et réciproquement
S = 12
F = 20
A inchangé. On vérifie :
20 faces avec 3 côtés communs
A = 20x3/2 = 30

Dans les deux cas, la somme S+F+A est la même (62).

4 ...
Ça m'suffit pour le moment

.

Oui, c'est bien, Tcherno !

A propos de fullerènes, savez-vous que d'autres abeilles ont construit sur un grosse sphère un début de ruche alvéolé qu'elles ont appelé "Full Reine" pour faire plaisir à leur maman




Et, savez-vous combien d'alvéoles sont pentagonales dans ce méga-polyèdre à 540 sommets ?

à vue de nez, je dirais 8 ...

.

Je ne sais pas, Tcherno, si c'est 8...

Nous, les épis, ne savons pas tout !
Cependant nous avons nos ingénieurs...

Vous avez vu que dans la vidéo, le ballon d'Adidas en 6 pièces est assimilable à un cube (à 6 faces).



Et bien, nos épis ingénieurs ont réussi à faire un ballon en 2 pièces !



J'expliquerais plus tard, dans un autre devoir, ce à quoi cela correspond dans la nature, tout au moins dans le principe, à une échelle beaucoup plus petite, pour nous les épis.

Tcherno !
J'ai regardé attentivement le fullerène 540




En coloriant les pentagones pour bien les voir, on remarque alors qu'ils sont disposés en losange et on comprend, en regardant leurs orientations respectives que la structure cristalline correspondante est le dodécaèdre à faces losanges dont les diagonales ont un rapport des longueurs égal à √2. Il y a donc 14 pentagones disposés en "1 - 4 - 4 - 4 - 1".

Notons que ce dodécaèdre est le dual du cuboctaèdre que nous étudierons dans le devoir de géométrie N°4.

La réponse à la question 4 est :
Tous les polyèdres convexes respectent l'égalité "S + F = A + 2".

Dans le cas du fullerène 540 représenté ci-dessus, nous avons, je pense :
F = 284
S = 540 (atomes de carbone)
A = 822 (ça en fait des liaisons covalentes !)

La suite au prochain numéro !

SansOgm a écrit:Tcherno !
J'ai regardé attentivement le fullerène 540

... Moi aussi.

En coloriant les pentagones pour bien les voir, on remarque alors qu'ils sont disposés en losange et on comprend, en regardant leurs orientations respectives que la structure cristalline correspondante est le dodécaèdre à faces losanges dont les diagonales ont un rapport des longueurs égal à √2. Il y a donc 14 pentagones disposés en "1 - 4 - 4 - 4 - 1".

???
Désolé, après avoir mis mes lunettes sur mon nez,qui sans cela en voyait 8, j'en vois finalement 12 !

Disposés par 4 sur 3 grands cercles "orthogonaux" (comme l'équateur et les méridiens 0°/180° et 90°/-90°

Et c'est mon dernier mot, Jean-Pierre !

La réponse à la question 4 est :
Tous les polyèdres convexes respectent l'égalité "S + F = A + 2".

C'est effectivement ce qu'après petite recherche on trouve sur de bons sites Internet sous le nom de théorème de Descartes-Euler
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/Polyedre.htm#Euler

.

SansOgm,

je confirme, vous vous vourfoyez avec vos 14 pentagones.
Nous les humains les avons bien étudiés, il n'y en a que 12 !

Voici ce que nous savons des fullerènes :
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Pour qu'un fullerène soit stable, les anneaux pentagonaux ne doivent pas être adjacents. D'une façon générale, on définit les fullerènes C_2n comme étant des structures fermées composées de (2n-20)/2 hexagones et de 12 pentagones. La plus petite molécule sphérique répondant à cette définition est le C₆₀, dont les atomes sont aux sommets d'un icosaèdre tronqué. C'est également le fullerène le plus fréquent. Les fullerènes C60 cristallisent dans le système cubique faces centrées (cfc). Le solide obtenu, à la différence du diamant et du graphite, est un solide moléculaire (cohésion cristalline de type Van der Waals), et chaque molécule C60 peut tourner librement sur elle-même.
En termes mathématiques, la structure d’un fullerène est un polyèdre convexe trivalent avec des faces pentagonales et hexagonales. En théorie des graphes, le terme « fullerène » fait référence à tout graphe planaire régulier-3 avec toutes les faces d’une taille de 5 ou 6 (y compris la face externe). Cela correspond à la caractéristique d'Euler concernant les polyèdres, |V|-|E|+|F| = 2, (où |V|, |E| et |F| indiquent le nombre de sommets, côtés et faces), c'est-à-dire qu’il y a exactement 12 pentagones dans un fullerène et |V|/2-10 hexagones.
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Mais, peut-être que vos abeilles et leur "Full Reine" ont réussi à faire 14 pentagones...
Nous en doutons.

Hé ! les enfants, ne vous acharnez pas contre moi !

Je vous ai dit que nous, les épis de maïs, ne savions pas tout. Et, d'ailleurs, je trouve passionnant que nous puissions coopérer. Pour les calculs, comprenez bien que ce n'est pas facile pour nous... nos bouliers à grains ne sont pas parfaits.

Mais, je compte sur vous pour partager nos connaissances :

SansOgm a écrit:
Mais, je compte sur vous pour partager nos connaissances :

OK, je peux te passer ma recette de pop corn;

 je compte sur vous pour fignoler notre proposition de ballon à deux pièces

Voici le deux pièces de base, reste à faire le pavage en mode fullerène.

Monsieur Gaston,

ne provoquez pas systématiquement notre ami SansOgm : Il a le sang zaud ! (j'aime !)

J'en veux pour preuve toutes vos remarques sarcastiques :
1- Dodécaèdre à 12 faces : Hein ? fallait-il l'humilier ?
2- Y-a pas que des carbones : Comme dirait nos voisins british,


    Tiens ! ça n'a pas tardé...

Le borosphérène est une molécule, en forme de cage à peu près sphérique, qui comporte 40 atomes de bore.  (Materialscientist/Wikicommons)
 
Les fullerènes ont été découverts en 1985. La plus connue de ces molécules sphériques est celle comportant 60 atomes de carbone (C₆₀), qui reproduit la structure de la surface d'un ballon de football. Des variantes avec plus ou moins d’atomes ont depuis été synthétisées, toutes constituées de carbone. Est-il possible de fabriquer des fullerènes avec un autre élément ? La question est d’autant plus intéressante que les fullerènes de carbone ont trouvé de nombreuses applications en chimie et dans les nanotechnologies. Une équipe de chimistes de l’Université Brown, aux États-Unis, et de trois universités chinoises, vient de mettre en évidence l'existence de fullerènes formés de 40 atomes de bore.
Le bore précède le carbone dans le tableau périodique des éléments ; il a donc un électron de moins. Ainsi, les chimistes pensaient qu’une structure comportant 60 atomes de bore similaire au fullerène C₆₀ serait instable. Toutefois, des calculs suggéraient qu'une structure formée de 80 atomes de bore pouvait être plus stable.
Lai-Sheng Wang, de l’Université Brown, et ses collègues, étudient les structures de bore depuis près de dix ans. Ils avaient déjà réussi à fabriquer des molécules en forme de disque composées d'un grand nombre d'atomes de bore, et constaté que certains amas de 40 atomes de bore étaient stables. Mais ils n’avaient pas encore identifié la structure de ces molécules B₄₀.
Pour ce faire, ils ont commencé par mesurer le spectre des énergies de liaison de la molécule. Ce spectre est une sorte d'« empreinte digitale » de la molécule, caractéristique de chaque arrangement. Ils ont ensuite simulé sur ordinateur 10 000 arrangements possibles de ces 40 atomes. De ces modèles, les chimistes ont extrait le spectre d'énergies de liaison associé  à chaque structure.
Pour obtenir le spectre expérimental, les chercheurs commencent par préparer un gaz d’atomes de bore, rapidement refroidi pour former de petits amas d’atomes. Les ensembles comportant 40 atomes sont sélectionnés grâce à un spectromètre de masse. Ces molécules sont ensuite irradiées par un laser qui leur arrache un électron. On détermine alors le spectre d’énergie des liaisons à partir de la vitesse des électrons arrachés, une technique nommée spectrométrie de photoélectrons.
En comparant les spectres théoriques avec ceux obtenus expérimentalement, L.-S. Wang et son équipe ont montré que des molécules stables de type fullerène comptant 40 atomes de bore s'étaient formées. Ces « sphères » ne sont cependant pas aussi régulières que le fullerène C₆₀ : elles comportent 48 triangles, deux hexagones (en haut et en bas de la structure), et quatre heptagones occupant les côtés. Les chimistes ont nommé cette structure borosphénène.
Il est encore trop tôt pour envisager les applications de ces fullerènes de bore. La prochaine étape sera de mesurer leurs propriétés. En particulier, L.-S. Wang et son équipe veulent étudier les interactions du fullerène de bore et l’hydrogène, qui pourrait être forte car le bore présente un déficit en électrons comparé au carbone. Ce fullerène de bore pourrait ainsi être un bon candidat pour stocker le dihydrogène dans les piles à combustible.

Finalement, cette collaboration toute enfumée est intéressante !

Pour le ballon 2 pièces, que dites-vous, SansOgm, d'une matière imprimée en 3D comme celle-là ?

Merci les amis !

Tant de collaboration me fait chaud aux grains.

C'est curieux, nous les épis nous sommes également inspiré d'un accessoire féminin pour trouver notre ballon à 2 pièces. Cet accessoire est le suivant



Il est encore trop tôt pour vous expliquer tout cela, nous ferons un devoir complet sur le ballon à 2 pièces.

SansOgm, avant qu'on aborde les p'tites serviettes de ces dames, puisqu'on parle de bore, je souhaite vous faire profiter d'un tuyau :